Familie Dieckmann stolpert schon seit einiger Zeit durch die Insel-Dünenwelt. Die Kleinen quengeln, das Stapfen durch den Sand ist mühsam! Endlich erreichen sie den Südstrand, irgendwo in der Höhe eines Birken- und Erlenwäldchens. Links von ihnen sehen sie die Kirchturmspitze der Kirche, neben der sie wohnen, rechts den 35m hohen Hafen-Leuchtturm. Sie wissen, dass der Hafen und die Stadtmitte ca. 6 km Luftlinie voneinander entfernt sind.
Vater Dieckmann hat einen Winkelmesser mit. Er bestimmt den Steigungswinkel Leuchtturmsockel/Leuchtturmspitze, er beträgt 0,5°. Zusätzlich misst er den Winkel, den die Strecke bis zur Kirche mit der Strecke bis zum Leuchtturm bildet, auch von ihrem Standpunkt aus gesehen: es sind 60°.
Die Kinder quengeln laut und nachhaltig. Ist es für Familie Dieckmann nun besser, direkt nach Hause zu gehen? Oder sollen sie lieber zum Hafen laufen und von dort aus mit einer Taxe oder der Bahn zurückfahren?
| Winkel | sin | cos | tan | cot |
|---|---|---|---|---|
| 0,5° | 8,726*10-3 | 0,99996 | 8,726*10-3 | 114,6 |
| 60° | 0,866 | 0,500 | 1,732 | 0,577 |
Der Steigungswinkel Leuchtturmsockel zur Leuchtturmspitze ist 0,5°, der Leuchtturm selbst ist 35m hoch.
Inseln sind meist ziemlich platt, so dass man davon ausgehen darf, dass der Kopf des Familienvaters unten am Strand
pi mal Daumen auf Höhe des Sockels ist. Es kommt auch nicht so darauf an, da bei diesen Graden sin und tan fast
gleich sind.
Die Steigung ist tan(0,5)=Leuchtturmhöhe/Abstand, umgeformt: Abstand=Leuchtturmhöhe/tan(0,5).
Eingesetzt ergibt sich, dass der Hafen 4 km weit weg ist.
Der Weg zum Hafen (4 km) ist bekannt, der Weg Hafen-Stadtmitte (6 km) ist bekannt.
Die Linien Dieckmann/Stadtmitte und Dieckmann/Hafen bilden einen Winkel von 60°.
3 Werte, ein Dreieck, damit lässt sich das Dreieck vollständig bestimmen. Weil ein Winkel und 2 Seiten gegeben sind,
nehmen wir hierzu den Kosinussatz:
a ist die Strecke, die dem gemessenen Winkel gegenüberliegt, also die 6km Verbindung Stadtmitte-Hafen.
b ist die vorhin berechnete Wegstrecke zum Hafen.
alpha ist der vom Familienvater gemessene Winkel, dessen Kosinus ist 0,5.
Die Gleichung wird in die Normalform gebracht:
c2 - 2*b*c*0,5 + b2 - a2 = 0
c2 - b*c + b2 - a2 = 0
und aufgelöst:
c = + 0,5*b +- sqrt(0,25*b2 - b2 + a2)
Einsetzen ergibt:
c = 2 +- sqrt(4 - 16 + 36) = 2 +- sqrt(24)
sqrt(24) sind fast 5, damit ist der Weg zur Stadtmitte schlappe 7 km lang.
(Der negative Teil der Wurzel gibt ein sinnfreies Ergebnis.)
Der knatschenden Kinder wegen ist es also für Familie Dieckmann besser, zum Hafen zu marschieren, und von da aus mit Bahn oder Taxi zur Stadt zurückzufahren.
Na, schwer gewesen?
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Anmerkung: sqrt(24) ist latürnich nur 4,9, d.h. der Weg ist nur 6,9 km lang. Aber Vater Dieckmanns Sextant ist Marke Eigenbau, so dass es auf die 100m nicht so drauf ankommt, weil sein Sextant schon einen ordentlichen Fehler mitbringt. Wer Fehlerrechnung machen will, kann ja mal 2% Fehler bei dem Winkel annehmen und den Spaß nochmal durchrechnen ;-).