Planzeichnung

Bällchen

Klein-Fett Piepsi geht jeden Morgen mit Frauchen durch den Park, dort an einem Teich vorbei. Hier wird ausgiebig getobt, hinter Tannenzapfen hergejagt und Stöckchen aus dem Teich gerettet.

Heute morgen gab es da was ganz Besonderes: Genau in der Teichmitte dümpelte ein roter Ball oder Ballon!
Klein-Fett Piepsi war ganz begeistert und rannte am Ufer hin und her. Dummerweise ist er wasserscheu, so daß er nicht zum Ball hinschwimmen wollte. Dafür tat er dann das, was er am besten kann: herzzerreißend piepsen!

Und siehe da! Der Ball kam auf ihn zu! Frauchen stand lachend dabei und spornte ihren Piepsi weiter an, so daß eventuell vorbeikommende Spaziergänger den Eindruck erhalten konnten, daß hier ein Hund schwer mißhandelt wurde. Gottseidank war es noch so früh, daß die meisten schliefen!

Wat nu?

Der Teich ist 4 x 6 m groß, vom Einlauf in der NO-Ecke bis zum Auslauf im SW herrscht eine Strömung von 6m/h. Der Ball befand sich genau in der Mitte.
a. Wie lange ungefähr müsste Piepsi warten, bis der Ball(on) angeschwemmt wird?
b. Wie lange ungefähr hätte es gedauert, wenn der Nordwind den Ball(on) zusätzlich mit 2m/h in Windrichtung getrieben hätte?
b1. Wer die Nase noch nicht voll hat, kann ja mal bestimmen, wo der Ball bei b ans Ufer kommt :-)

a. Wie lange ungefähr müsste Piepsi warten, bis der Ball(on) angeschwemmt wird?

Bestimmung der zurückzulegenden Strecke:

Wenn der Ball mit der Strömung wandert, kommt er in der Ecke links unten ans Ufer: zu bestimmen ist also die Diagonale des Rechtecks mit den Seiten Gesamtbreite/2 und Gesamtlänge/2.

Die Diagonale ergibt sich mit sqrt(a*a+b*b) oder hier sqrt(ga/2 * ga/2 + gb/2 * gb/2),
zusammengefasst: x=1/2*sqrt(ga*ga+gb*gb),
eingesetzt: x=1/2*sqrt(6*6 + 4*4)m = 1/2*sqrt(52)m oder ca. 3,6m.

Bestimmung der Zeitdauer aus der Strömungsgeschwindigkeit und der zurückzulegenden Strecke:

Es gilt: v=x/t, aufgelöst nach t: t=x/v
x ist 3,6m, v ist 6m/h, eingesetzt: t=3.6/6 [m*h/m], (ich bin Physiker, ich darf das!)
der Ball ist also nach 0,6 h oder 36min am Ufer.

b. Wie lange ungefähr hätte es gedauert, wenn der Nordwind den Ball(on) zusätzlich mit 2m/h in Windrichtung getrieben hätte?

Wenn der Ball ohne Hilfe des Windes in der SW-Ecke ankommt, kommt er bei Nordwind, der eine zusätzliche Bewegung nach Süden verursacht, irgendwo am südlichen Ufer an.

Bestimmung der Gesamtgeschwindigkeit in Südrichtung:

Hierzu brauchen wir die Nord/Süd-Komponente der Strömungsrichtung, die zur Windkomponente, die streng in Nord/Süd-Richtung verläuft. addiert wird:
> vsüd = vyStrömung + vyWind

Erstere bekommt man piepeinfach aus den 2m von Teichmitte bis zum südlichen Rand, die mit Strömung allein in 36min zurückgelegt wird. Dann ist der Ball ja am Ausgang (Teil a der Aufgabe).

Wir haben also die beiden Geschwindigkeiten 2m/h (Wind) und 2m/36min (Nord/Süd-Komponente der Strömung),
das ergibt: vyges = 2m/60min + 2m/36min = 12m/360min+20m/360min =32m/360min = 0,09 m/min

Bestimmung der Zeit aus dem Abstand Teichmitte-Südrand und der Nord-Südgeschwindigkeit:

Es gilt: v=x/t, aufgelöst nach t: t=x/v
x ist 2m, v ist 0.09m/min, eingesetzt: t=2/0.09 min, (ich bin Physiker, ich darf das!)
der Ball ist also nach ca. 22 min am Ufer.

b1. Wo kommt der Ball ans Ufer?

Bestimmung der Strömungsschwindigkeit in Westrichtung:

Dazu brauchen wir wieder die Daten aus a.: die halbe Teichlänge wird in 36min zurückgelegt, d.h., die Strömung nach Westen ist 3/36 m/min = 1/12 m/min oder 0.083333 m/min.

Zur gleichen Zeit, wenn der Ball 0.09 Einheiten nach Süden gewandert ist, ist er 0.08333 Einheiten nach Westen gewandert.
Nach b. ist er 22min unterwegs und legt dabei eine Strecke von 0.0833 * 22 m oder 1.83m nach Westen zurück.

Damit ist er beim Auftreffen auf den Rand schlappe 1.2m vom Auslauf entfernt.

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